Minule jsem se zabýval veličinami a jevy v prostoru singularit. Dozvěděli jsme se, co je to těleso, co je to jev, atomární stav věcí, co je to vlna prostoru věcí. To byly pouhé základy, k nim se vrátím podrobněji, ale nyní musím pojednat o struktuře světa. O struktuře světa se dá pojednávat, když použijeme správné pojmy. Ty pojmy musí být dostatečně abstraktní na to, abych mohl pomocí nich hovořit o kterékoliv entitě světa. Tyto abstraktní pojmy jsou objekt a metaobjekt. Vysvětlím postupně.
Objekt světa je abstraktní označení čehokoliv ve světě, může to být existence stavu věcí (tedy konečné číslo), stav věcí samotný (nekonečné číslo), může to být jev světa, těleso (množina jevů světa), i základní vlna prostoru věcí. Může to být oblast nulového prostoru, oblast prostoru věcí, oblast singularity.
A. Pojednání o nekonečně malých, konečných, polonekonečných a nekonečných objektech
Pokud začneme v popisu objektem jako existujícím, nebo neexistujícím stavem věcí (tedy množstvím), budeme hovořit o číslu jako o objektu světa. Číslo je objekt světa a použijeme značení dle ordinálních čísel. Existující stavy věcí budeme značit α a neexistující stavy věcí -α. Základní podstatou světa je všudypřítomná aritmetika, tudíž všude lze pracovat s množstvími, tedy s čísly. Pro ordinální čísla zavedeme ordinální aritmetiku:
Konstrukci ordinálních čísel jsme již zavedli, každé ordinální číslo α má svého následovníka α´ = α + 1 = α ∪ {α}, což je číslo o jedna větší. Opačné ordinály se konstruují pouze přidáním symbolu –. Tedy neexistence stavů věcí reprezentují opačné ordinály -α. U konstrukce ordinálních čísel je zajímavé, že když zkonstruujeme celou množinu přirozených čísel, která se značí ω = {0, 1, 2, …} a je limitním ordinálem, tak tento ordinál se chová stejně jako 0, nemá předchůdce, tudíž jako 0 není žádným následovníkem. O to je ale zajímavější, že jako 0 následovníka má. 0 má následovníka 1, ω má následovníka ω + 1 = {0, 1, 2, …, ω}. Tato množina obsahuje všechny předchozí ordinály, to znamená přirozená čísla (konečné ordinály) a dokonce celou množinu ω. Dává to tedy logický smysl a můžeme tak v číslech pokračovat dále ω + 2, ω + 3, atd.
Stejně jako na přirozených číslech, můžeme obecně na ordinálech, konečných i nekonečných, definovat sčítání a násobení. Použijeme k tomu takzvané lexikografické uspořádání. S tímto matematickým nástrojem uvidíme, že i na nekonečných číslech se dá počítat.
Takže sčítání definujeme takto:
α + β = ({0} × α) ∪ ({1} × β)
Příklad a vysvětlení:
3 + 5 = ({0} × 3) ∪ ({1} × 5) = ({0} × {0, 1, 2}) ∪ ({1} × {0, 1, 2, 3, 4}) = {[0, 0], [0, 1], [0, 2]} ∪ {[1, 0], [1, 1], [1, 2], [1, 3], [1, 4]} = {[0, 0], [0, 1], [0, 2], [1, 0], [1, 1], [1, 2], [1, 3], [1, 4]} = 8
Vezmeme množinu obsahující 0 a zobrazíme ji na množinu 3, která obsahuje 3 prvky 0, 1, 2, ze zmíněného zobrazení nám vznikne množina dvojic čísel, kde se kombinují k sobě prvky obou množin {[0, 0], [0, 1], [0, 2]}. Potom zobrazíme množinu obsahující prvek 1 na množinu obsahující 0, 1, 2, 3, 4 a vznikne nám množina dvojic čísel {[1, 0], [1, 1], [1, 2], [1, 3], [1, 4]}. Když obě dvě výsledné množiny sjednotíme (sloučíme), vyjde nám množina, jež typem odpovídá množině 8 = {[0, 0], [0, 1], [0, 2], [1, 0], [1, 1], [1, 2], [1, 3], [1, 4]}. V této množině jsou prvky seřazeny podle dvojic nejdříve podle 0 a potom podle 1, výsledný počet prvků je 8 a množina se podobá běžnému ordinálu 8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Na dalším příkladu vynikne fungování násobení ordinálních čísel:
α * β = β × α
Násobení taky funguje jako zobrazení, ale dvou množin přímo na sebe, takže:
2 * ω = ω × 1 = {0, 1, 2, …} × {0, 1} = {[0, 0], [0, 1,], [1, 0], [1, 1], [2, 0], [2, 1], …}, sami můžete spatřit, že taková množina je typu ω, tedy shrnutě 2 * ω = ω, když ale součin obrátíme, dostáváme:
ω * 2 = 2 × ω = {0, 1} × {0, 1, 2, …} = {[0, 0], [0, 1], [0, 2], …, [1, 0], [1, 1], [1, 2], …}, výsledek už neodpovídá předchozímu násobení, jde o množinu typu ω + ω, což prostě zapisujeme ω * 2. U násobení neplatí tedy komutativita 2 * ω ≠ ω * 2 a obecně α * β ≠ β * α.
Kdybyste zkusili např. 1 + ω a ω + 1, zjistíte, že se tyto hodnoty taky nerovnají, tedy i u sčítání platí:
α + β ≠ β + α
Máme tedy 2 základní zákony aritmetiky:
α + β ≠ β + α, nekomutativita sčítání
α * β ≠ β * α, nekomutativita násobení
Jde ukázat i násobení 2 nekonečných ordinálů, což je v podstatě umocňování, např.:
ω * ω = ω × ω = {0, 1, 2, …} × {0, 1, 2, …} = {[0, 0], [0, 1,], [0, 2], …, [1, 0], [1, 1], [1, 2], …, [2, 0], [2, 1], [2, 2], …, …} = ω²
O objektech můžeme prohlásit:
- Jsou to množiny, budeme je značit obecně x, nebo zřetězené množiny xxx…
- Počítáme je ordinály α a – α, které udávají jejich existenci a neexistenci jako stavů věcí, tedy αx, nebo – αx, toto bude pro nás jev světa.
- Každý objekt má řád nekonečnosti, budeme ho značit y. Řád nekonečnosti slouží ke zjednodušení popisu nekonečnosti. Pro přesný popis budeme ale používat typ nekonečnosti.
- Řády nekonečnosti objektu jsou základní 4 hodnoty y.
- Objekt je nekonečně malý, když y = -1.
- Objekt je konečný, když y = 0.
- Objekt je polonekonečný, když y = ½.
- Objekt je nekonečný, když y = 1.
- Řetězec identických, nebo podobných objektů může být xxx…, nebo x´x´x´…
- Řetězec odlišných objektů třeba x1x2x3…
- Řetězce objektů můžeme nazvat stavy věcí.
- Těleso je množina jevů T = {α1x, α2x, α3x, …}.
- Těleso může být i množina jevů různých typů
T =
{α11×1, α12×1, α13×1, …,
α21×2, α22×2, α23×2, …,
…}.
Příklady:
- Veličinu ε můžeme označit na nekonečně malý objekt řádu y = -1, je to atomární stav věcí, tedy zřetězení objektů, můžeme psát ε = 000…
- Atom je množina jevů různých typů, vystupují v něm různé objekty (elektron, kvarky, energie, atd.), které se chovají jako zřetězené objekty.
B. Mohutnost a typ nekonečnosti objektů a potence množin
Můžeme mít různé typy nekonečnosti objektů (značíme z):
z = ω, T = {α1x, α2x, α3x, …}, nebo
z = ω + ω, T = {α11x, α12x, α13x, …, α21x, α22x, α23x, …}, atd.,
ale stále platí y = 1 a mohutnost takovýchto objektů se řídí podle základního limitního ordinálu, který je užíván, takže mohutnost je |M| = ω.
Například reálná úsečka AB bude mít libovolné typy nekonečnosti objektu ω1 + ω1 + …., tím bude dána délka této úsečky, mohutnost je pak |M| = ω1.
Abychom pochopili, jaký je rozdíl mezi ordinály rozdílné mohutnosti ω, ω1, ω2, ω3, ω4, …, musíme pochopit pojem potence množiny, popř. potenční množina. Každá množina x může mít svoji potenční množinu 2^x. Ta se konstruuje následovně. Jestliže je např. x = {0, 1}, tak 2^x = {0, {0}, {1}, {0, 1}}. Potenční množina 2^x obsahuje všechny podmnožiny původní množiny x, to znamená všechny prvky množiny x uspořádané do jednoprvkových množin {0}, {1} a dvouprvkových množin {0, 1} a navíc je tam obsažena prázdná množina 0, která je podmnožinou každé množiny. A pro mohutnost platí |M| = |x|, pak |2^x| = 2^|x|, což může vypadat složitě, ale říká to, že pokud byla mohutnost množiny x číslo 2, pak mohutnost potenční množiny bude 2^2, což je 4. Toto byla ukázka na množině konečné, když zmíníme množinu ω = {0, 1, 2, …}, tak potenční množina bude vypadat následovně:
2^ω =
{0, {0}, {1}, {2}, …,
{0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, …,
{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, …,
…
{0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {0, 1, 4}, …
….
….}
Takováto množina má už jinou mohutnost, protože se v ní vyčerpávají všechny možnosti, jak uspořádat prvky z množiny přirozených čísel. 2^ω = ω1. Georg Cantor dokázal, že lze pokračovat dále 2^ω1 = ω2, 2^ω2 = ω3. Lze zkonstruovat celé hierarchie nekonečných ordinálů odlišných mohutností. A já v příštím článku ukážu, jak se toto dá použít při definici dimenzí prostoru a při popisu, jak může realita světa vůbec fungovat.
Jan Kozohorský
13.1.2018
Poslední články autora:
